Paartoestanden zijn kwantumtoestanden waarbij individuele fermionen in het kwantumveeldeeltjessysteem zich paarsgewijze structureren. Deze bijzondere klasse van toestanden kunnen teruggevonden worden in een grote variëteit van veeldeeltjessystemen. Het meest bekende voorbeeld is wellicht de tot de verbeelding sprekende supergeleidende grondtoestand van metallische kristallen, waar de elektron-fonon interactie aanleiding geeft tot de creatie van elektron Cooper paren. Echter, paring van fermionen wordt eveneens teruggevonden op subatomaire schaal, in atomaire en moleculaire systemen, en in de korst van neutronensterren.

De exacte theoretische beschrijving van deze paartoestanden zadelt de fysica echter met een enorm probleem op, aangezien de Hilbert ruimte van het kwantumveeldeeltjessysteem exponentieel groter wordt naarmate het aantal fermion paren toeneemt. Het wordt m.a.w. exponentieel moeilijk om alle mogelijke bijdragen van alle verschillende basis toestanden exact te kennen. Een beproefde methode om toch de kwantum toestand te kunnen beschrijven, is door gebruik te maken van een zogenaamde Ansatz, dit is een welberedeneerd voorstel voor een functionele vorm van de golffunctie. Het is hoogst opmerkelijk dat in het geval van supergeleiding is gebleken dat een (Bethe) Ansatz toestand een exacte beschrijving gaf van de Cooper paren in het kristal. Een Bethe Ansatz heeft de vorm van een product van veralgemeende fermionparen, en wordt ook wel geminal genoemd. In tegenstelling tot product toestanden van fermionen, die antisymmetrisch van aard zijn, gedragen de fermion paren zich symmetrisch bij verwisseling. Fermion paren hebben dus eerder een bosonisch karakter, en worden daarom harde-kern bosonen genoemd. Hieruit volgt onmiddellijk dat een theoretische beschrijving van fermion paren zal kunnen steunen op eigenschappen van permanenten, wat de symmetrische tweelingbroer is van het welbekende begrip determinant. Ondanks de sterke gelijkenissen tussen determinanten en permanenten, zijn er ook wezenlijke verschillen te noteren. Het belangrijkste verschil is de nodige tijd om een permanent versus determinant uit te rekenen; terwijl determinanten in polynomiale (kubische) tijd kunnen uitgerekend worden, vergt de evaluatie van een permanent een factoriëel schalende tijd. Daarom is het van groot belang om goede Ansatze uit te denken die er enerzijds in slagen om een zo accuraat mogelijke beschrijving te geven van de paartoestanden in het kwantumveeldeeltjessysteem, en anderzijds toch een geschikte structurele vorm hebben zodat het factoriële rekenprobleem kan omzeild worden.

Dit onderwerp is momenteel een heel actief onderzoeksthema in onze groep, in samenwerking met de groep van Paul W. Ayers van McMaster university in Hamilton, Ontario. Er zijn verschillende projecten die een theoretisch aangelegde thesisstudent zeker kunnen aanspreken:

• Een beschrijving van paar correlaties in mesoscopische systemen, zoals bv. in grote moleculen, waar de relatie tussen de paar dichtheid en de Lewis structuur kan onderzocht worden.
• Het opsporen van nieuwe accurate Ansatze met een computationeel voordelige schaling.
• Het inbedden van de paartoestand Ansatze binnen het kader van bestaande kwantum veeldeeltjes technieken, zoals de ontwikkeling van een variationele bepaling van de optimale paartoestand Ansatz.

Mogelijke thesis onderwerpen bevatten dus een mix van wiskunde, fysica en computationeel werk, met aangepaste gewichtsfactoren naar gelang het interessegebied van de student.